Materi matematika tentang lingkaran

LINGKARAN

Sejak zaman Babilonia, manusia sudah terkagum-kagum oleh bangun matematika

yang dinilai sebagai bentuk yang sempurna, yaitu lingkaran. Kita semua pasti tidak asing

lagi dengan beragam lingkaran. Lingkaran terjadi secara alami di alam semesta, mulai

dari riak air sampai lingkar cahaya bulan. Di alam, lingkaran sering kali terbentuk apabila

permukaan datar dipengaruhi oleh suatu gaya yang bekerja merata ke segala arah.

Misalnya, saat sebuah kelereng jatuh ke dalam air dan menghasilkan gelombang yang

menyebar rata ke segala arah sebagai serangkaian riak yang berbentuk lingkaran.

Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah:

􀂙 dapat menyebutkan unsur-unsur dan bagian-bagian lingkaran;

􀂙 dapat menemukan nilai phi;

􀂙 dapat menentukan rumus serta menghitung keliling dan luas lingkaran;

􀂙 dapat mengenal hubungan sudut pusat dan sudut keliling jika menghadap

busur yang sama;

􀂙 dapat menentukan besar sudut keliling jika menghadap diameter dan busur

yang sama;

􀂙 dapat menentukan panjang busur, luas juring, dan luas tembereng;

􀂙 dapat menggunakan hubungan sudut pusat, panjang busur, dan luas juring

dalam pemecahan masalah.

Sumber: Jendela Iptek, 2001

Kata-Kata Kunci:

􀂙 unsur-unsur lingkaran

􀂙 keliling dan luas lingkaran

􀂙 sudut pusat dan sudut keliling

􀂙 panjang busur, luas juring, dan luas tembereng

138 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

A 􀁸

􀁸 D

Gambar 6.2

Di tingkat sekolah dasar, kalian telah diperkenalkan dengan

bangun lingkaran. Coba kalian ingat kembali materi tersebut.

Agar kalian mudah memahami materi pada bab ini, kalian

harus menguasai mengenai sudut, segitiga, dan faktorisasi suku

aljabar.

A. LINGKARAN DAN BAGIAN-BAGIANNYA

1. Pengertian Lingkaran

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering melihat benda-benda

yang permukaannya berbentuk lingkaran, seperti tampak pada

Gambar 6.1 berikut.

Gambar 6.1

Dari Gambar 6.1 di atas, apakah yang dapat kalian ceritakan

mengenai lingkaran? Dapatkah kalian menyebutkan unsur-unsur

lingkaran?

Agar kalian memahami pengertian lingkaran, perhatikan

Gambar 6.2 di samping.

Lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang merupakan

tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu

titik tertentu. Jarak yang sama tersebut disebut jari-jari lingkaran

dan titik tertentu disebut pusat lingkaran.

Gambar 6.2 di samping menunjukkan titik A, B, C, dan D yang

terletak pada kurva tertutup sederhana sedemikian sehingga OA

= OB = OC = OD = jari-jari lingkaran (r). Titik O disebut pusat

lingkaran.

Selanjutnya, perhatikan Gambar 6.3 di samping.

Panjang garis lengkung yang tercetak tebal yang berbentuk

lingkaran tersebut disebut keliling lingkaran, sedangkan daerah

arsiran di dalamnya disebut bidang lingkaran atau luas

lingkaran.

􀁸

Gambar 6.3

(Menumbuhkan

kreativitas)

Perhatikan lingkungan

di sekitarmu. Temukan

5 buah benda

berbentuk lingkaran.

Rabalah permukaan

benda-benda tersebut.

Menurutmu, unsurunsur

apa sajakah

yang menyusun

sebuah lingkaran?

Ceritakan temuanmu

secara singkat di

depan kelas.

139 Lingkaran

2. Bagian-Bagian Lingkaran

Perhatikan Gambar 6.4 di samping agar kalian mudah memahami

mengenai unsur-unsur lingkaran.

– Titik O disebut titik pusat lingkaran.

– OA , OB , OC , dan OD disebut jari-jari lingkaran, yaitu garis

yang menghubungkan titik pusat lingkaran dan titik pada keliling

lingkaran.

– AB disebut garis tengah atau diameter, yaitu ruas garis yang

menghubungkan dua titik pada keliling lingkaran dan melalui

pusat lingkaran. Karena diameter AB = AO + OB , di mana

AO = OB = jari-jari (r) lingkaran, sehingga

diameter (d) = 2 􀁵 jari-jari (r) atau d = 2r.

– AC disebut tali busur, yaitu ruas garis yang menghubungkan

dua titik pada keliling lingkaran.

– OE 􀁁 tali busur BD dan OF 􀁁 tali busur AC disebut

apotema, yaitu jarak terpendek antara tali busur dan pusat

lingkaran.

– Garis lengkung 􀁰AC , 􀁰BC, dan 􀁰AB disebut busur lingkaran,

yaitu bagian dari keliling lingkaran. Busur terbagi menjadi dua,

yaitu busur besar dan busur kecil (Gambar 6.5).

1. Busur kecil/pendek adalah busur AB yang panjangnya

kurang dari setengah keliling lingkaran.

2. Busur besar/panjang adalah busur AB yang lebih dari

setengah keliling lingkaran.

– Daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari, OC dan OB serta

busur BC disebut juring atau sektor. Juring terbagi menjadi

dua, yaitu juring besar dan juring kecil (Gambar 6.6).

– Daerah yang dibatasi oleh tali busur AC dan busurnya disebut

tembereng. Gambar 6.7 menunjukkan bahwa terdapat

tembereng kecil dan tembereng besar.

􀁸

A B

busur besar

busur kecil

Gambar 6.5

􀁸

busur tembereng

tali

busur

juring

apotema

Gambar 6.4

Gambar 6.6

􀁸

B C

juring kecil

juring besar

Gambar 6.7

tembereng

besar

tembereng

kecil

(Menumbuhkan inovasi)

Sediakan sebuah jam weker. Anggaplah titik pertemuan antara jarum

menit dan jarum detik sebagai titik pusat lingkaran.

Tunjukkan unsur-unsur lingkaran dengan menggunakan jam weker

tersebut. Ceritakan secara singkat di depan kelas.

140 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

B. KELILING DAN LUAS LINGKARAN

Pernahkah kamu mengamati gerak sebuah roda sepeda?

Untuk mengetahui pengertian keliling lingkaran, coba kamu ambil

roda sebuah sepeda. Tandai pada bagian tepi lingkaran dengan

huruf A. Kemudian, gelindingkan roda tersebut dimulai dari titik A

kembali ke titik A lagi. Lintasan yang dilalui roda dari A sampai

kembali ke A lagi disebut satu putaran penuh atau satu keliling

lingkaran. Sebelum kita menghitung keliling lingkaran, kita akan

mencoba menemukan nilai 􀁓 (pi).

1. Menemukan Pendekatan Nilai 􀁓 (pi)

Lakukan kegiatan berikut ini, untuk menemukan pendekatan

nilai 􀁓 (pi).

141 Lingkaran

Lingkaran Diameter Keliling Keliling

Diameter

Berjari-jari 1 cm .... .... ....

Berjari-jari 1,5 cm .... .... ....

Berjari-jari 2 cm .... .... ....

Berjari-jari 2,5 cm .... .... ....

Berjari-jari 3 cm .... .... ....

KEGIATAN

a. Buatlah lingkaran dengan jari- jari 1 cm, 1,5 cm, 2 cm, 2,5 cm,

dan 3 cm.

b. Ukurlah diameter masing-masing lingkaran dengan

menggunakan penggaris.

c. Ukurlah keliling masing-masing lingkaran menggunakan

bantuan benang dengan cara menempelkan benang pada bagian

tepi lingkaran, dan kemudian panjang benang diukur

menggunakan penggaris.

d. Buatlah tabel seperti di bawah ini dan hasil pengukuran yang

telah kamu peroleh isikan pada tabel tersebut.

Coba bandingkan hasil yang kalian peroleh dengan hasil yang

diperoleh teman-temanmu. Apa yang dapat kalian simpulkan?

Apakah kamu mendapatkan nilai perbandingan antara keliling dan

diameter untuk setiap lingkaran adalah sama (tetap)?

Jika kegiatan tersebut kalian lakukan dengan cermat dan teliti

maka nilai

keliling

diameter akan memberikan nilai yang mendekati 3,14.

Untuk selanjutnya, nilai keliling

diameter

disebut sebagai konstanta 􀁓

(􀁓 dibaca: pi).

Keliling 􀀠􀁓

Diameter

Coba tekan tombol 􀁓 pada kalkulator. Apakah kalian

mendapatkan bilangan desimal tak berhingga dan tak berulang?

Bentuk desimal yang tak berhingga dan tak berulang bukan bilangan

pecahan. Oleh karena itu, 􀁓 bukan bilangan pecahan, namun

bilangan irasional, yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan

(Menumbuhkan

kreativitas)

Dengan adanya teknologi

komputer, nilai

􀁓 dapat dicari sampai

puluhan tempat

desimal.

Coba carilah nilai 􀁓

dengan menggunakan

komputer di sekolahmu.

Mintalah petunjuk

gurumu.

Ceritakan pengalamanmu

secara singkat

di depan kelas.

142 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

dalam bentuk pecahan biasa a

b . Bilangan irasional berupa desimal

tak berulang dan tak berhingga.

Menurut penelitian yang cermat ternyata nilai 􀁓 = 3,14 1592 6535

8979324836 ...

Jadi, nilai 􀁓 hanyalah suatu pendekatan.

Jika dalam suatu perhitungan hanya memerlukan ketelitian

sampai dua tempat desimal, pendekatan untuk 􀁓 adalah 3, 14.

Coba bandingkan nilai 􀁓 dengan pecahan 22

7 . Bilangan

pecahan 22

7 jika dinyatakan dalam pecahan desimal adalah

3,142857143. Jadi, bilangan 22

7 dapat dipakai sebagai pendekatan

untuk nilai 􀁓 .

3,14 atau 22

􀁓 􀀠

2. Menghitung Keliling Lingkaran

Pada pembahasan di bagian depan diperoleh bahwa pada

setiap lingkaran nilai perbandingan

(K)

( )

keliling

diameter d menunjukkan

bilangan yang sama atau tetap disebut 􀁓 .

Karena K 􀀠􀁓

d , sehingga didapat K = 􀁓 d.

Karena panjang diameter adalah 2 􀁵 jari-jari atau d = 2r, maka

K = 2􀁓 r.

Jadi, didapat rumus keliling (K) lingkaran dengan diameter (d) atau

jari-jari (r) adalah

K 􀀠􀁓 d atau K 􀀠 2􀁓 r

Untuk memudahkan

dalam menyelesaikan

soal yang berkaitan

dengan jari-jari atau

diameter lingkaran,

gunakan

– 22

􀁓 􀀠 , jika jari-jari

atau diameternya

kelipatan 7;

– 􀁓 = 3,14 jika jari-jari

atau diameternya

bukan kelipatan 7.

143 Lingkaran

Hitunglah keliling lingkaran

jika diketahui

a. diameter 14 cm;

b. jari-jari 35 cm.

Penyelesaian:

a. d = 14 cm sehingga K

22 14

􀀠􀁓

􀀠 􀁵

􀀠

Jadi, keliling lingkaran adalah 44 cm.

b. r = 35 cm sehingga K 2

2 22 35

220

􀀠 􀁓

􀀠 􀁵 􀁵

􀀠

Jadi, keliling lingkaran = 220 cm.

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.

1. Sediakan mata uang logam Rp100,00,

Rp200,00, dan Rp500,00. Ukurlah

panjang diameter dan keliling mata uang

tersebut. Buatlah tabel seperti berikut dan

isikan hasil pengukuranmu pada tabel

tersebut.

Dari tabel tersebut, tentukan nilai 􀁓

sampai tiga tempat desimal.

2. Hitunglah keliling lingkaran jika diketahui

a. jari-jari 49 m; f. diameter 70 cm;

b. jari-jari 21 m; g. diameter 2,8 cm;

c. jari-jari 5 cm; h. diameter 15 m;

d. jari-jari 12 cm; i. diameter 50 m;

e. jari-jari 10,5 cm; j. diameter 2,4 cm;

3. Hitunglah panjang tali yang diperlukan

untuk melilitkan sebuah drum berjari-jari

3 cm sebanyak lima putaran.

4. Hitunglah keliling daerah yang diarsir

pada gambar berikut.

28 cm

14 cm

10 cm

(i) (ii)

21 cm

10 cm

(iii) (iv)

Mata uang Diameter Keliling Keliling

Diameter

Rp100,00 .... .... ....

Rp200,00 .... .... ....

Rp500,00 .... .... ....

144 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

5. Ali ke sekolah naik sepeda menempuh

jarak 706,5 m. Ternyata sebuah roda

sepedanya berputar 500 kali untuk

sampai ke sekolah.

a. Hitunglah panjang jari-jari roda.

b. Tentukan keliling roda itu.

Catatan: Gunakan kalkulator untuk membantumu mengerjakan

soal di atas.

3. Menghitung Luas Lingkaran

Untuk menemukan rumus luas lingkaran, lakukan kegiatan

dengan langkah-langkah berikut.

a. Buatlah lingkaran dengan jari-jari 10 cm.

b. Bagilah lingkaran tersebut menjadi dua bagian sama

besar dan arsir satu bagian.

c. Bagilah lingkaran tersebut menjadi 12 bagian sama

besar dengan cara membuat 12 juring sama besar

dengan sudut pusat 30o (Gambar 6.8 (i)).

d. Bagilah salah satu juring yang tidak diarsir menjadi dua

sama besar.

e. Gunting lingkaran beserta 12 juring tersebut.

f. Atur potongan-potongan juring dan susun setiap juring

sehingga membentuk gambar mirip persegi panjang,

seperti pada Gambar 6.8 (ii) di samping.

Berdasarkan Gambar 6.8 (ii), diskusikan dengan teman

sebangkumu untuk menemukan luas lingkaran. Hasilnya

bandingkan dengan uraian berikut.

(i)

Gambar 6.8

(ii)

Jika lingkaran dibagi menjadi juring-juring yang tak terhingga

banyaknya, kemudian juring-juring tersebut dipotong dan disusun

seperti Gambar 6.8 (ii) maka hasilnya akan mendekati bangun

persegi panjang.

Perhatikan bahwa bangun yang mendekati persegi panjang

tersebut panjangnya sama dengan setengah keliling lingkaran

􀀋3,14􀁵10 cm 􀀠 31,4 cm􀀌 dan lebarnya sama dengan jari-jari lingkaran

(10 cm). Jadi, luas lingkaran dengan panjang jari-jari 10 cm

= luas persegi panjang dengan p = 31,4 cm dan l = 10 cm.

= p 􀁵 l

= 31,4 cm 􀁵 10 cm

= 314 cm

KEGIATAN

145 Lingkaran

Dengan demikian, dapat kita katakan bahwa luas lingkaran

dengan jari-jari r sama dengan luas persegi panjang dengan panjang

􀁓 r dan lebar r, sehingga diperoleh

􀁓

􀀠 􀁵

􀀠

r r

Karena 1

r 􀀠 d , maka

L 1

􀁓

􀀠 􀂧􀂨 􀂷􀂸 􀂩 􀂹

􀀠

Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa luas lingkaran L dengan jarijari

r atau diameter d adalah

L 􀀠􀁓 r2 atau L 1 2

􀀠 􀁓 d

Hitunglah luas lingkaran

jika

a. jari-jarinya 7 cm;

b. diameternya 20 cm.

Penyelesaian:

a. jari-jari = 7 cm, maka r = 7

L 2

22 7 7

154

􀀠􀁓

􀀠 􀁵 􀁵

􀀠

Jadi, luas lingkaran = 154 cm2.

b. diameter = 20 cm, maka d = 20

L 1 2

1 3,14 20 20

1 3,14 400

314

􀀠 􀁓

􀀠 􀁵 􀁵 􀁵

􀀠 􀁵 􀁵

􀀠

Jadi, luas lingkaran = 314 cm2.

(Menumbuhkan

kreativitas)

Carilah 4 buah benda

di sekitarmu yang

berbentuk lingkaran.

Ukurlah keliling

benda-benda tersebut

menggunakan benang.

Kemudian, luruskan

benang tersebut

pada penggaris

untuk memperoleh

kelilingnya. Dengan

menggunakan rumus

keliling, hitunglah panjang

jari-jari atau diameternya.

Kemudian, hitunglah

luas setiap benda tersebut.

Gunakan kalkulator

untuk membantu

pekerjaanmu.

146 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.

1. Hitunglah luas daerah lingkaran dengan

panjang jari-jari berikut ini.

a. 21 cm d. 70 m

b. 25 cm e. 3,5 m

c. 49 cm

2. Hitunglah luas daerah lingkaran dengan

diameter berikut ini.

a. 50 m d. 25 cm

b. 1,4 m e. 18 cm

c. 35 m

3. Tentukan luas daerah arsiran pada bangun

berikut.

14 cm 10 cm

10 cm

(a) (b)

10 cm

7 cm

14 cm

4. Dua buah lingkaran berjari-jari 5 cm dan

15 cm. Hitunglah perbandingan

a. kedua kelilingnya;

b. selisih kelilingnya;

c. kedua luasnya;

d. selisih luasnya.

5. Di pusat sebuah kota rencananya akan

dibuat sebuah taman berbentuk lingkaran

dengan diameter 56 m. Di dalam taman

itu akan dibuat kolam berbentuk lingkaran

berdiameter 28 m. Jika di luar kolam

akan ditanami rumput dengan biaya

Rp6.000,00/m2, hitunglah seluruh biaya

yang harus dikeluarkan untuk menanam

rumput tersebut.

Sebuah satelit mempunyai kecepatan edar 7.500 km/jam dan

mengorbit mengelilingi bumi selama 6 jam dalam satu putaran

penuh. Jika jari-jari bumi 6.400 km, tentukan

a. panjang lintasan satelit tersebut;

b. jarak satelit ke pusat bumi;

c. tinggi lintasan satelit dari permukaan bumi.

4. Menghitung Perubahan Luas dan Keliling Lingkaran

Jika Jari-Jari Berubah

Pada pembahasan yang lalu kalian telah mempelajari

mengenai luas dan keliling lingkaran, yaitu luas (L) = 2 1 2

􀁓 r 􀀠 􀁓 d

dan keliling (K) = 2􀁓 r 􀀠􀁓 d . Apabila nilai r atau d kita ubah,

147 Lingkaran

maka besarnya keliling maupun luasnya juga mengalami perubahan.

Bagaimana besar perubahan itu? Perhatikan uraian berikut.

Misalkan lingkaran berjari-jari r1, diperbesar sehingga jarijarinya

menjadi r2, dengan r2 > r1. Jika luas lingkaran semula adalah

L1 dan luas lingkaran setelah mengalami perubahan jari-jari adalah

L2 maka selisih luas kedua lingkaran adalah

􀀋 􀀌

􀀋 􀀌􀀋 􀀌

2 2

2 1 2 1

2 2

2 1

2 1 2 1

L L 􀁓 􀁓

􀁓

􀀐 􀀠 􀀐

􀀠 􀀐

􀀠 􀀐 􀀎

r r

r r r r

Jika keliling lingkaran semula adalah K1 dan keliling setelah

mengalami perubahan jari-jari adalah K2 maka selisih keliling kedua

lingkaran adalah

􀀋 􀀌

2 1 2 1

2 1

K K 2 2

􀁓 􀁓

􀁓

􀀐 􀀠 􀀐

􀀠 􀀐

r r

Kalian juga dapat menghitung perbandingan luas dan keliling

lingkaran jika jari-jari berubah.

Perbandingan luas kedua lingkaran sebagai berikut.

L2 : L1

2 2

2 1

2 2

2 1

􀀠􀁓 􀁓

􀀠

r r

Adapun perbandingan kelilingnya adalah

K2 : K1 2 1

2 1

2 :2

􀀠 􀁓 􀁓

􀀠

r r

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa lingkaran yang berjarijari

r1, setelah mengalami perubahan jari-jari menjadi r2 dengan

r2 > r1, maka selisih serta perbandingan luas dan kelilingnya sebagai

berikut.

L2 – L1 = 􀀋 􀀌􀀋 􀀌 2 1 2 1 􀁓 r 􀀐 r r 􀀎 r

K2 – K1 = 􀀋 􀀌 2 1 2􀁓 r 􀀐 r

L2 : L1 = r2

2 : r1

K2 : K1 = r2 : r1

(Menumbuhkan

inovasi)

Diskusikan dengan

teman sebangkumu.

Misalkan lingkaran

berjari-jari r1 diperkecil

sehingga jarijarinya

menjadi r2

dengan r2 < r1.

Hitunglah selisih

serta perbandingan

luas dan keliling kedua

lingkaran tersebut.

Buatlah kesimpulannya.

Kemukakan

hasilnya secara singkat

di depan kelas.

148 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

Hitunglah selisih serta perbandingan

luas dan keliling

lingkaran yang berjari-jari

2 cm dan 4 cm.

Penyelesaian:

Lingkaran berjari-jari 2 cm, maka r1 = 2.

Lingkaran berjari-jari 4 cm, maka r2 = 4.

􀁸) Selisih luas

􀀋 􀀌􀀋 􀀌

2 1

2 1 2 1

L L

4 2 4 2

2 6

12 cm

􀁓

􀀠 􀀐

􀀠 􀀐 􀀎

􀀠 􀁵 􀁵

􀀠

r r r r

􀁸) Selisih keliling

􀀋 􀀌

2 1

K K

2 4 2

4 cm

􀁓

􀀠 􀀐

􀀠

r r

􀁸) Perbandingan luas 2 1

2 2

2 1

2 2

L :L

4 :2

16: 4

4 :1

􀀠

r r

􀁸) Perbandingan keliling 2 1

2 1

K :K

4: 2

2:1

􀀠

r r

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.

1. Diketahui suatu lingkaran berjari-jari r

cm. Hitung selisih serta perbandingan

luas dan keliling lingkaran jika jari-jarinya

diubah menjadi

a. dua kalinya;

b. (r + 2) cm.

2. Diketahui jari-jari suatu lingkaran semula

7 cm. Hitunglah selisih dan perbandingan

luas lingkaran setelah jari-jarinya

a. diperbesar tiga kalinya;

b. diperkecil 1

2 kalinya.

149 Lingkaran

3. Perbandingan luas dua buah lingkaran

adalah 36 : 64. Hitunglah

a. perbandingan keliling kedua lingkaran;

b. selisih keliling kedua lingkaran;

c. perbandingan jari-jari kedua lingkaran;

d. selisih jari-jari kedua lingkaran.

4. Jari-jari dua buah lingkaran masingmasing

adalah a cm dan 3a cm. Jika

jumlah panjang jari-jari kedua lingkaran

itu 28 cm, tentukan

a. nilai a;

b. perbandingan luas dan kelilingnya;

c. selisih luas dan kelilingnya.

C. HUBUNGAN ANTARA SUDUT PUSAT,

PANJANG BUSUR, DAN LUAS JURING

1. Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas Juring

Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari

yang berpotongan pada pusat lingkaran. Pada Gambar 6.9 di

samping, 􀂑 AOB = 􀁄 adalah sudut pusat lingkaran. Garis lengkung

AB disebut busur AB dan daerah arsiran OAB disebut juring OAB.

Pada pembahasan kali ini, kita akan mempelajari hubungan

antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring pada sebuah

lingkaran.

Untuk menentukan hubungan antara sudut pusat, panjang

busur, dan luas juring lakukan kegiatan berikut.

KEGIATAN

Gambar 6.9

1. Buatlah lingkaran dengan pusat di O berjari-jari 5 cm.

2. Pada lingkaran tersebut buatlah sudut pusat 􀂑 AOB

= 30o dan 􀂑 COD = 60o (Gambar 6.10 (i)).

3. Untuk menyelidiki hubungan antara sudut pusat dan

panjang busur, ukurlah 􀁰AB dan 􀁰CD dengan

menggunakan benang. Bagaimana hubungan panjang

􀁰AB dan 􀁰CD?

4. Untuk menyelidiki hubungan antara sudut pusat dan

luas juring, jiplaklah juring OAB dan potong sekeliling

juring OAB. Kemudian ukurlah juring OCD dengan

menggunakan juring OAB (Gambar 6.10 (ii) dan (iii)).

Apakah besar juring OCD dua kali besar juring OAB?

5. Tentukan besar perbandingan antara kedua sudut

pusat, panjang kedua busur, dan luas kedua juring.

Apakah menghasilkan perbandingan yang sama?

Gambar 6.10

C D

A B

30o

60o

30o

60o

(i)

(ii) (iii)

150 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

Jika kegiatan ini kalian lakukan dengan teliti maka akan

diperoleh bahwa

􀁰

􀁱

besar AOB panjangAB luas juring OAB 1 .

besar COD panjang CD luas juring OCD 2

􀂑 􀀠 􀀠 􀀠

􀂑

Panjang busur dan luas juring pada suatu lingkaran berbanding

lurus dengan besar sudut pusatnya.

Sekarang perhatikan Gambar 6.11 (i). Dari gambar tersebut

diperoleh

􀁰

􀁱

besar AOB panjangAB luas juring OAB.

besar COD panjang CD luas juring OCD

􀂑 􀀠 􀀠

􀂑

Sekarang, misalkan 􀂑 COD = satu putaran penuh = 360o maka

keliling lingkaran = 2􀁓r, dan luas lingkaran = 􀁓r2 dengan r jari-jari,

akan tampak seperti Gambar 6.11 (ii), sehingga diperoleh

o 2

AOB panjang AB luas juring OAB

360 2􀁓 􀁓

􀂑 􀀠 􀀠

r r

Dengan demikian, diperoleh rumus panjang busur AB, luas juring

AB, dan luas tembereng AB pada Gambar 6.11 adalah

panjang busur AB 2

360

􀀠 􀁄 􀁵 􀁓

􀁱

luas juring OAB 2

360

􀀠 􀁄 􀁵􀁓

􀁱

luas tembereng AB = luas juring OAB – luas 􀀧 AOB.

Perhatikan Gambar 6.12.

Diketahui panjang jari-jari

OA = 10 cm. Jika besar

􀂑􀀃AOB = 60o, hitunglah

a. panjang 􀁰AB ;

b. luas juring OAB;

c. luas tembereng AB.

Penyelesaian:

a. Panjang A􀁰B AOB 2

360

60 2 3,14 10

360

1 62,8

10,47cm

􀀠 􀂑 􀁵 􀁓

􀁱

􀀠 􀁱 􀁵 􀁵 􀁵

􀁱

􀀠 􀁵

􀀠

b. 2

luas juring OAB AOB

360

60 3,14 10

360

􀀠 􀂑 􀁵􀁓

􀁱

􀀠 􀁱 􀁵 􀁵

􀁱

A r

Gambar 6.12

D C

O 􀁄

Gambar 6.11

(i)

(ii)

C/D

O 􀁄

151 Lingkaran

1 314

52,33cm

􀀠 􀁵

􀀠

c. Karena besar 􀂑 AOB = 60o, maka 􀀧􀀃AOB sama sisi

dengan panjang sisi 10 cm, sehingga

􀀋 􀀌

1 keliling segitiga

1 10 10 10

1 30 15

􀀠 􀁵

􀀠 􀀎 􀀎

􀀠 􀁵 􀀠

a b c

􀀋 􀀌􀀋 􀀌􀀋 􀀌

luas AOB

15 15 10 15 10 15 10

15 5 5 5

1.875

43,30cm

􀀧 􀀠 􀀐 􀀐 􀀐

􀀠 􀀐 􀀐 􀀐

􀀠

s s a s b s c

luas tembereng AB = luas juring OAB – luas 􀀧 AOB

= (52,33 – 43,30) cm2

= 9,03 cm2.

2. Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan dengan Hubungan

Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas Juring

Hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring

dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan

dengan materi tersebut. Pelajari contoh berikut.

Perhatikan gambar berikut.

O 45o

Gambar 6.13

Penyelesaian:

a. Di depan telah dipelajari hubungan antara sudut pusat

dan panjang busur berikut.

􀁰

besar POQ panjang PQ , sehingga diperoleh

besar QOR panjang QR

􀂑 􀀠

􀂑

152 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

Pada gambar di atas,

diketahui panjang busur

PQ = 16,5 cm, panjang

busur QR = 22 cm, dan

besar 􀂑 POQ = 45o.

a. Hitunglah besar

􀂑􀀃QOR.

b. Hitunglah panjang jarijari

OP.

c. Tentukan luas juring

OPQ dan OQR.

45 16,5

besar QOR 22

45 2

45 33

44 45 60

􀀠

􀂑

􀂜 􀀠

􀂜 􀀠 􀁵 􀀠

Jadi, besar 􀂑􀀃QOR = 60o.

b. 􀁰

Panjang QR = besar QOR 2

360

22 60 2 22

360 7

22 1 2 22

6 7

22 6 7 21

2 22

􀂑 􀁵 􀁓

􀀠 􀁵 􀁵 􀁵

􀀠 􀁵 􀁵 􀀠

􀁵

Jadi, panjang jari-jari OP = 21 cm.

c. 2

Luas juring OPQ = POQ

360

45 22 21 21

360 7

173,25 cm

Luas juring OQR = QOR

360

60 22 21 21

360 7

231 cm

􀁓

􀂑 􀁵

􀀠 􀁵 􀁵 􀁵

􀀠

􀂑 􀁵

􀀠 􀁵 􀁵 􀁵

􀀠

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.

1. Pada suatu lingkaran dengan pusat O

diketahui titik A, B, C, dan D pada keliling

lingkaran, sehingga 􀂑 AOB = 35o

dan 􀂑􀀃COD = 140o. Jika panjang 􀁰AB =

14 cm, hitunglah panjang 􀁰CD.

153 Lingkaran

6. Hitunglah luas tembereng pada gambar

berikut jika jari-jari lingkaran 14 cm.

a. A

60O

7. Pada gambar di samping,

panjang busur

PQ = 50 cm, panjang

busur QR = 75 cm,

dan besar 􀂑 POQ =

45o. Hitunglah besar

􀂑 QOR.

8. Pada gambar di samping,

besar 􀂑 POQ

= 72o dan panjang

jari-jari OP = 20 cm.

Hitunglah

a. panjang busur besar PQ;

b. luas juring besar POQ.

2. Pada gambar di samping,

luas juring OAB

= 50 cm2. Hitunglah

a. luas juring POQ;

b. jari-jari lingkaran;

c. luas lingkaran.

3. Panjang jari-jari sebuah lingkaran

diketahui 20 cm. Hitunglah

a. panjang busur di hadapan sudut 30o;

b. luas juring di hadapan sudut 45o.

4. Pada gambar di samping

diketahui panjang

OP = 28 cm dan

􀁰PQ = 17,6 cm.

Hitung luas juring

POQ.

5. Hitunglah keliling dan luas bangun

yang diarsir pada gambar berikut.

45O

B A

6 cm 5 cm

(a)

60O

A B

20 cm

(b)

O P

45o

O P

72o

20 cm

D. SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILING

LINGKARAN

1. Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Pada pembahasan yang lalu kalian telah mempelajari bahwa

sudut pusat dibentuk oleh dua jari-jari lingkaran yang berpotongan

di titik pusatnya. Adapun sudut keliling adalah sudut yang dibentuk

oleh dua tali busur yang berpotongan di satu titik pada keliling

lingkaran.

Pada Gambar 6.14 di samping, OA dan OB berpotongan di

O membentuk sudut pusat, yaitu 􀂑 AOB. Adapun tali busur AC

dan CB berpotongan di titik C membentuk sudut keliling 􀂑 ACB.

Gambar 6.14

75O

60O

Q P

154 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

Sudut pusat 􀂑 AOB dan sudut keliling 􀂑 ACB menghadap busur

yang sama, yaitu 􀁰AB . Sekarang, kita akan mempelajari hubungan

antara sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang

sama.

Perhatikan Gambar 6.15.

Lingkaran di samping berpusat di titik O dan mempunyai jari-jari

OA = OB = OC = OD = r.

Misalkan 􀂑 AOC = 􀁄 dan 􀂑 COB = 􀁅, maka 􀂑 AOB = 􀁄 + 􀁅.

Perhatikan 􀀧 BOD.

􀂑 BOD pelurus bagi 􀂑 BOC, sehingga 􀂑 BOD = 180o – 􀁅 .

􀀧 BOD segitiga sama kaki, karena OB = OD = r, sehingga

􀂑 ODB = 􀂑 OBD =

180o BOD

􀀐 􀂑 .

Karena 􀂑BOD = 180o – 􀁅 , maka diperoleh

180o (180o ) 1 ODB OBD .

2 2

􀂑 􀀠 􀂑 􀀠 􀀐 􀀐􀁅 􀀠 􀁅

Sekarang perhatikan 􀀧 AOD.

􀂑 AOD pelurus bagi 􀂑 AOC, sehingga 􀂑 AOD = 180o – 􀁄.

􀀧 AOD adalah segitiga sama kaki, karena OA = OD = r, sehingga

􀀋 􀀌

ODA OAD 180 AOD

180 180

􀁄

􀂑 􀀠 􀂑 􀀠 􀁱 􀀐􀂑

􀁱 􀀐 􀁱 􀀐

􀀠

Dengan demikian, besar 􀂑 ADB

􀀋 􀀌

ODA ODB

1 1

2 2

1 AOB atau

􀁄 􀁅

􀀠 􀂑 􀀎 􀂑

􀀠 􀀎

􀀠 􀁵􀂑

besar 􀂑 AOB = 2 􀁵 besar 􀂑 ADB.

Karena 􀂑 AOB adalah sudut pusat dan 􀂑 ADB adalah sudut

keliling, di mana keduanya menghadap 􀁰AB , maka dapat

disimpulkan sebagai berikut.

Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama

maka besar sudut pusat = 2 􀁵 besar sudut keliling.

􀁄

􀁅

O r

Gambar 6.15

155 Lingkaran

Pada lingkaran di atas, jika

􀂑 ACO = 15o dan

􀂑 BCO = 12o, hitung besar

􀂑 AOB.

Gambar 6.17

C O

Gambar 6.16

Penyelesaian:

􀂑 ACB merupakan sudut keliling dan 􀂑 AOB merupakan

sudut pusat, sehingga diperoleh

sudut keliling ACB = 􀂑 ACO + 􀂑 BCO

= 15o + 12o

= 27o

sudut pusat AOB = 2 􀁵 sudut keliling ACB

= 2 􀁵 27o

= 54o

2. Besar Sudut Keliling yang Menghadap Diameter

Lingkaran

Kalian telah mempelajari bahwa besar sudut pusat lingkaran

adalah dua kali besar sudut kelilingnya, jika menghadap busur yang

sama. Bagaimana besar sudut keliling yang menghadap diameter

lingkaran?

Perhatikan Gambar 6.17.

Sudut pusat AOB menghadap busur AB. Perhatikan bahwa sudut

keliling ACB dan sudut keliling ADB menghadap busur AB,

sehingga diperoleh

AOB 2 ACB

180 2 ACB

ACB 180 90

􀂑 􀀠 􀁵􀂑

􀁱 􀀠 􀁵 􀂑

􀂑 􀀠 􀁱 􀀠 􀁱

atau

AOB 2 ADB

180 2 ADB

ADB 180 90

􀂑 􀀠 􀁵􀂑

􀁱 􀀠 􀁵 􀂑

􀂑 􀀠 􀁱 􀀠 􀁱

Dari Gambar 6.16 tampak bahwa 􀂑 AOB adalah sudut lurus,

sehingga besar 􀂑 AOB = 180o.

Besar sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran

besarnya 90o (sudut siku-siku).

156 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

Diketahui 􀂑 ABC = 65o

dengan AB diameter

lingkaran. Hitunglah besar

􀂑 CAB.

Penyelesaian:

Ruas garis AB adalah diameter lingkaran.

Karena 􀂑 ACB adalah sudut keliling yang menghadap diameter

AB, maka besar 􀂑 ACB = 90o.

Perhatikan bahwa 􀀧 BCO adalah segitiga sama kaki,

karena OB = OC = r, sehingga 􀂑 BCO = 􀂑 CBO = 65o.

Dengan demikian diperoleh

ACO ACB BCO

90 65

􀂑 􀀠􀂑 􀀐􀂑

􀀠 􀁱􀀐 􀁱

􀀠 􀁱

Karena 􀀧 AOC sama kaki (OA = OC = r), maka

􀂑 CAO = 􀂑 ACO = 25o.

3. Sudut-Sudut Keliling yang Menghadap Busur yang Sama

Untuk menentukan besar sudut keliling yang menghadap busur

yang sama, perhatikan Gambar 6.19 di samping.

Pada gambar tersebut 􀂑 AOB adalah sudut pusat yang menghadap

􀁰AB = 􀁄, sedangkan 􀂑 ACB, 􀂑 ADB, dan 􀂑 AEB adalah sudut

keliling yang menghadap 􀁰AB .

ACB 1 AOB 1

2 2

􀂑 􀀠 􀁵􀂑 􀀠 􀁄

ADB 1 AOB 1

2 2

􀂑 􀀠 􀁵􀂑 􀀠 􀁄

AEB 1 AOB 1

2 2

􀂑 􀀠 􀁵􀂑 􀀠 􀁄

Jadi, besar 􀂑 ACB = 􀂑 ADB = 􀂑 AEB.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.

Besar sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama

adalah sama besar atau 1

􀁵 sudut pusatnya.

65O

A B

Gambar 6.18

􀁄

Gambar 6.19

157 Lingkaran

Perhatikan Gambar 6.20.

Diketahui besar 􀂑 BAC =

50o dan 􀂑 CED = 60o.

Hitunglah besar 􀂑 BDC,

􀂑 ACD, dan 􀂑 ABD.

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.

Penyelesaian:

Dari Gambar 6.20 tampak bahwa 􀂑 BAC dan 􀂑 BDC

sudut keliling menghadap busur yang sama yaitu 􀁰BC,

sehingga besar 􀂑􀀃BDC = 􀂑 BAC = 50o.

Perhatikan 􀀧􀀃CED.

􀂑􀀃ACD = 180o – (􀂑 CED + 􀂑 CDE)

= 180o – (􀂑 CED + 􀂑 CDB)

= 180o – (60o + 50o)

= 70o

Sudut ACD dan 􀂑􀀃 ABD adalah sudut keliling yang

menghadap busur yang sama yaitu 􀁰AD , sehingga besar

􀂑􀀃ABD = 􀂑 ACD = 70o.

1. Pada gambar berikut, hitunglah nilai x dan

80O

xOo

25O

D E

(a) (b)

xo 35o yo

(c)

O D

Pada gambar di atas diketahui besar

􀂑 ACD = 20o. Hitunglah besar

a. 􀂑 BOC;

b. 􀂑 AOC;

c. 􀂑 BOD.

60O

50O A

E O

Gambar 6.20

158 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

A B

Diketahui besar 􀂑 BCA = 25o dan

􀂑 CBO = 15o. Hitunglah besar

a. 􀂑 AOB; c. 􀂑􀀃ABC;

b. 􀂑􀀃OAB; d. 􀂑􀀃BAC.

4. Pada gambar di

samping PR adalah

diameter lingkaran.

Hitunglah

a. nilai x;

b. besar 􀂑􀀃PRQ.

55O

D O

Diketahui besar 􀂑 ADC = 55o. Hitunglah

besar

a. 􀂑 AOC;

b. sudut refleks AOC;

c. 􀂑 OAC dan 􀂑 ACD.

Diketahui besar 􀂑 PQR = 48o dan

􀂑 QRS = 101o. Hitunglah besar

a. 􀂑 PST; c. 􀂑 QTS.

b. 􀂑 QPR;

2xO

R Q

E. SEGI EMPAT TALI BUSUR (PENGAYAAN)

1. Pengertian Segi Empat Tali Busur

Agar kalian memahami mengenai segi empat tali busur,

perhatikan Gambar 6.21. Pada gambar tersebut titik O adalah titik

pusat lingkaran dan titik A, B, C, serta D terletak pada keliling

lingkaran tersebut. Ruas garis AB, BC, CD, dan AD adalah talitali

busur lingkaran. Tali-tali busur tersebut membentuk segi empat

ABCD, dan selanjutnya disebut segi empat tali busur.

Segi empat tali busur adalah segi empat yang titik-titik sudutnya

terletak pada lingkaran.

2. Sifat-Sifat Segi Empat Tali Busur

Perhatikan Gambar 6.22.

Pada gambar tersebut tampak bahwa sudut-sudut yang berhadapan

pada segi empat tali busur ABCD adalah 􀂑 ABC dengan 􀂑 ADC

dan 􀂑 BAD dengan 􀂑 BCD.

Gambar 6.21

159 Lingkaran

Perhatikan sudut keliling 􀂑 ABC dan 􀂑 ADC.

􀀋 􀀌

ABC 1 AOD DOC

ADC 1 AOB BOC

􀂑 􀀠 􀁵 􀂑 􀀎􀂑

Dengan demikian diperoleh

􀀋 􀀌

ABC ADC 1 AOD DOC 1

2 2

AOB BOC

1 AOD DOC AOB BOC

1 360

180

􀂑 􀀎􀂑 􀀠 􀁵 􀂑 􀀎􀂑 􀀎 􀁵

􀂑 􀀎􀂑

􀀠 􀁵 􀂑 􀀎􀂑 􀀎􀂑 􀀎􀂑

􀀠 􀁵 􀁱

􀀠 􀁱

Sekarang, perhatikan sudut keliling 􀂑 BAD dan 􀂑 BCD.

􀀋 􀀌

BAD 1 BOC COD

BCD 1 BOA AOD

􀂑 􀀠 􀁵 􀂑 􀀎􀂑

Dengan demikian, diperoleh

􀀋 􀀌

BAD BCD 1 BOC COD 1

2 2

BOA AOD

1 BOC COD BOA AOD

1 360

180

􀂑 􀀎􀂑 􀀠 􀁵 􀂑 􀀎􀂑 􀀎 􀁵

􀂑 􀀎􀂑

􀀠 􀁵 􀂑 􀀎􀂑 􀀎􀂑 􀀎􀂑

􀀠 􀁵 􀁱

􀀠 􀁱

Jadi, 􀂑 ABC + 􀂑 ADC = 180o dan 􀂑 BAD + 􀂑 BCD = 180o.

Jumlah dua sudut yang saling berhadapan pada segi empat tali

busur adalah 180o.

Selanjutnya, perhatikan Gambar 6.23.

Pada gambar di samping, 􀁰QS adalah diameter lingkaran

sekaligus diagonal segi empat PQRS. Karena 􀂑 QPS dan 􀂑 QRS

adalah sudut keliling, maka besar 􀂑 QPS = 􀂑 QRS = 90o. Segi

empat PQRS selanjutnya disebut segi empat tali busur siku-siku.

A D

Gambar 6.22

P S

Gambar 6.23

160 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

Segi empat tali busur yang salah satu diagonalnya merupakan

diameter lingkaran disebut segi empat tali busur siku-siku.

Perhatikan Gambar 6.24.

Pada gambar tersebut, KM dan LN adalah diameter

lingkaran, 􀂑 KLM dan 􀂑 KNM adalah sudut keliling yang

menghadap diameter KM , sedangkan 􀂑 LKN dan 􀂑 LMN adalah

sudut keliling yang menghadap diameter LN .

Dengan demikian, 􀂑 KLM = 􀂑 KNM = 􀂑 LKN = 􀂑 LMN

= 90o. Karena keempat sudutnya siku-siku, akibatnya

KL//NM, KN// LM, KL = NM , dan KN = LM, dengan KM

dan LN adalah diagonal-diagonal segi empat KLMN. Dengan

kata lain, segi empat KLMN adalah suatu persegi panjang.

Segi empat tali busur yang kedua diagonalnya merupakan diameter

lingkaran akan membentuk bangun persegi panjang.

Selanjutnya, bagaimanakah jika kedua diagonal segi empat

tali busur merupakan diameter lingkaran dan saling berpotongan

tegak lurus? Bangun apakah yang terbentuk? Apakah terbentuk

bangun persegi panjang? Agar kalian dapat menjawabnya,

perhatikan Gambar 6.25.

Pada Gambar 6.25, AC dan BD adalah diameter lingkaran

dengan AC 􀁁 BD . Karena 􀂑 ABC, 􀂑 BCD, 􀂑 CDA, dan

􀂑 DAB adalah sudut-sudut keliling yang menghadap diameter,

besar 􀂑 ABC = 􀂑 BCD = 􀂑 CDA = 􀂑 DAB = 90o.

Sekarang, perhatikan 􀀧 BOC.

Jika 􀀧 BOC kita putar sejauh 90o berlawanan arah putaran

jarum jam dengan titik O sebagai titik putar maka diperoleh

OB􀁯OC, OC􀁯OD,dan􀂑BOC􀁯􀂑COD .

Dengan demikian, BC􀁯CD atau BC 􀀠 CD .

Analog dengan cara di atas, dapat ditunjukkan bahwa

CD 􀀠 DA 􀀠 AB , sehingga BC 􀀠 CD 􀀠 DA 􀀠 AB . Dengan kata

lain, segi empat ABCD adalah bangun persegi.

Segi empat tali busur yang kedua diagonalnya merupakan

diameter lingkaran yang saling berpotongan tegak lurus akan

membentuk bangun persegi.

N M

Gambar 6.24

B C

Gambar 6.25

161 Lingkaran

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.

1. Perhatikan gambar di bawah.

ABCD adalah segi

empat tali busur dengan

􀂑 ABC = 80o

dan 􀂑 ADC = 100o.

Tentukan

a. besar 􀂑 BCD;

b. besar 􀂑 BAD.

H G

75o

Perhatikan gambar di atas.

a. Jika 􀂑 EOF = 75o, tentukan besar

sudut yang lain.

b. Apakah jenis 􀀧 FOG?

c. Bangun apakah EFGH?

P S

35o

Perhatikan gambar di atas.

Diketahui PR dan QS adalah diameter

lingkaran.

a. Jika 􀂑 OPS = 35o, tentukan besar

sudut yang lain.

b. Bangun apakah PQRS?

c. Sebutkan dua pasang segitiga pada

segi empat PQRS yang sama dan

sebangun.

N O

Dari gambar di atas, KLMN adalah segi

empat tali busur dengan diagonal KM

dan LN merupakan diameter lingkaran

yang saling berpotongan tegak lurus.

a. Tentukan besar semua sudut pada

segi empat KLMN.

b. Bangun apakah KLMN?

c. Jika panjang jari-jari lingkaran adalah

r, tentukan luas segi empat KLMN.

Perhatikan gambar di atas.

Diketahui ABCD adalah segi empat tali

busur dengan 􀂑 DCG, 􀂑 ADH, 􀂑 BAE,

dan 􀂑 CBF adalah sudut luar segi empat

ABCD.

a. Buktikan bahwa besar 􀂑 DCG =

􀂑 BAD.

b. Jika 􀂑 ABC = 80o, tentukan besar

sudut yang lain.

162 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

F. SUDUT ANTARA DUA TALI BUSUR

(PENGAYAAN)

Dua tali busur dari sebuah lingkaran dapat berpotongan di

dalam lingkaran atau berpotongan di luar lingkaran pada

perpanjangan kedua tali busur itu. Agar kalian lebih memahaminya,

perhatikan Gambar 6.26 berikut.

Pada Gambar 6.26 (a), tali busur AC dan BD berpotongan

di dalam lingkaran, sedangkan Gambar 6.26 (b) menunjukkan tali

busur DG dan EF berpotongan pada perpanjangan kedua tali

busur itu di luar lingkaran.

Pada bagian ini kita akan menentukan besar sudut antara

dua tali busur yang berpotongan di dalam atau di luar lingkaran.

1. Sudut Antara Dua Tali Busur Jika Berpotongan Di

Dalam Lingkaran

Perhatikan Gambar 6.27. Lingkaran dengan pusat di titik O

dengan titik E adalah titik potong antara tali busur AC dan BD .

Dari gambar tersebut tampak bahwa 􀂑 AEB, 􀂑 BEC, 􀂑 CED,

dan 􀂑 AED adalah sudut di dalam lingkaran yang dibentuk oleh

perpotongan antara tali busur AC dan BD .

Dari gambar tersebut diperoleh

a. 􀂑 BDC adalah sudut keliling yang menghadap busur BC,

sehingga BDC= 1 BOC;

􀂑 􀁵􀂑

b. 􀂑 ACD adalah sudut keliling yang menghadap busur AD,

sehingga ACD= 1 AOD.

􀂑 􀁵􀂑

Perhatikan bahwa 􀂑 BEC adalah sudut luar 􀀧 CDE, sehingga

o o

BEC = 180 CED

180 (180 CDE ECD)

CDE ECD

􀂑 􀀐􀂑

􀀠 􀀐 􀀐 􀂑 􀀐 􀂑

􀀠 􀂑 􀀎 􀂑

Gambar 6.27

Gambar 6.26

(a) (b)

163 Lingkaran

􀀋 􀀌

BDC+ ACD

1 BOC 1 AOD

2 2

1 BOC AOD

􀀠 􀂑 􀂑

􀀠 􀂧􀂨 􀁵􀂑 􀂷􀂸 􀀎 􀂧􀂨 􀁵􀂑 􀂷􀂸 􀂩 􀂹 􀂩 􀂹

􀀠 􀁵 􀂑 􀀎􀂑

Analog dengan cara di atas, maka diperoleh

􀀋 􀀌

AEB 1 AOB COD

CED 1 COD AOB

AED 1 AOD BOC

􀂑 􀀠 􀁵 􀂑 􀀎􀂑

Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.

Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam

lingkaran sama dengan setengah dari jumlah sudut-sudut pusat

yang menghadap busur yang diapit oleh kaki-kaki sudut itu.

Gambar 6.28

Pada gambar di atas, diketahui

besar 􀂑 POQ = 60o

dan besar 􀂑 ROS = 230o.

Tentukan besar 􀂑 PTQ.

Penyelesaian:

􀀋 􀀌

PTQ 1 POQ ROS

1 60 130

􀂑 􀀠 􀁵 􀂑 􀀎􀂑

􀀠 􀁵 􀁱􀀎 􀁱

􀀠 􀁱

R S

2. Sudut Antara Dua Tali Busur yang Berpotongan Di Luar

Lingkaran

Perhatikan Gambar 6.29 berikut.

Titik O adalah titik pusat lingkaran, sedangkan LK dan

MN adalah dua tali yang jika diperpanjang akan berpotongan

di titik P, di mana titik P di luar lingkaran, sehingga terbentuk

􀂑 KPN.

164 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

Gambar 6.29

Gambar 6.30

Perhatikan Gambar 6.30 di

atas.

Diketahui besar 􀂑 AED =

25o dan besar 􀂑 BOC =

35o. Tentukan besar

􀂑 AOD.

A B

Penyelesaian:

􀀋 􀀌

AED 1 AOD BOC

25 1 AOD 35

50 AOD 35

AOD 85

􀂑 􀀠 􀁵 􀂑 􀀐􀂑

􀁱 􀀠 􀁵 􀂑 􀀐 􀁱

􀁱 􀀠 􀂑 􀀐 􀁱

􀂑 􀀠 􀁱

Perhatikan bahwa 􀂑 KMN adalah sudut keliling yang

menghadap busur KN, sehingga

KMN= 1 KON

􀂑 􀁵􀂑

Sudut MKL adalah sudut keliling yang menghadap busur LM,

sehingga

MKL= 1 MOL

􀂑 􀁵􀂑

Sudut MKL adalah sudut luar 􀀧 KPM, sehingga berlaku

􀂑 MKL = 􀂑 KMN + 􀂑 KPN

atau

􀀋 􀀌

KPN MKL KMN

1 MOL 1 KON

2 2

1 MOL KON

􀂑 􀀠􀂑 􀀐􀂑

􀀠 􀂧􀂨 􀁵􀂑 􀂷􀂸 􀀐 􀂧􀂨 􀁵􀂑 􀂷􀂸 􀂩 􀂹 􀂩 􀂹

􀀠 􀁵 􀂑 􀀐􀂑

Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.

Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luar

lingkaran sama dengan setengah dari selisih sudut-sudut

pusat yang menghadap busur yang diapit oleh kaki-kaki

sudut itu.

165 Lingkaran

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.

3. Perhatikan gambar

di samping.

Jika besar 􀂑 POQ =

35o dan besar

􀂑 ROS = 50o, tentukan

besar 􀂑 PTQ

dan 􀂑 QTR.

Pada gambar di atas diketahui besar

􀂑 NOM = 30o dan 􀂑 KQL = 60o.

Tentukan

a. besar 􀂑 KOL;

b. besar 􀂑 KPL.

1. Perhatikan gambar

di samping.

Jika besar 􀂑 AOC =

65o dan 􀂑 BOD =

140o, tentukan

a. besar 􀂑 AEC;

b. besar 􀂑 BEC.

2. D

Pada gambar di atas tali busur DE dan

GF berpotongan di titik H di luar

lingkaran. Diketahui besar 􀂑 DOG =

150o dan 􀂑 EOF = 40o.

Tentukan besar 􀂑 DHG.

L M

1. Perhatikan gambar di samping.

a. Titik O disebut pusat lingkaran.

b. OA , OB , OC , OD , dan OE disebut jari-jari lingkaran.

c. BD disebut garis tengah atau diameter, yaitu garis yang

menghubungkan dua titik pada keliling lingkaran dan melalui

pusat lingkaran.

d. AE disebut tali busur, yaitu garis yang menghubungkan

dua titik pada keliling lingkaran.

e. Garis lengkung AFE disebut busur kecil (pendek), yaitu busur

yang panjangnya kurang dari setengah keliling lingkaran.

f. Garis lengkung ACE disebut busur besar (panjang), yaitu

busur yang panjangnya lebih dari setengah keliling lingkaran.

166 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

g. Daerah yang dibatasi oleh jari-jari OC dan OB serta busur

BC disebut sektor atau juring lingkaran.

h. Daerah yang dibatasi oleh tali busur AE dan busur AFE

disebut tembereng.

i. OG 􀁁 tali busur AE disebut apotema, yaitu jarak terpendek

antara tali busur dan pusat lingkaran.

2. Nilai 􀁓 merupakan suatu pendekatan. Besar nilai 􀁓 adalah

3,14 atau 22

7 .

3. Rumus keliling lingkaran (K) dengan diameter (d) dan jari-jari

(r) sebagai berikut.

K 􀀠􀁓 d atau K 􀀠 2􀁓 r

4. Rumus luas lingkaran (L) dengan diameter (d) dan jari-jari (r)

sebagai berikut.

L 􀀠􀁓 r2 atau L 1 2

􀀠 􀁓 d

5. Dari gambar di samping berlaku sebagai berikut.

Besar sudut pusat AOB

Besar sudut satu putaran penuh

Panjang busur AB Luas juring OAB

Keliling lingkaran Luas lingkaran

􀀠 􀀠

6. Panjang busur besar sudut pusat 2 .

360

􀀠 􀁵 􀁓

􀁱

Luas juring besar sudut pusat 2 .

360

􀀠 􀁵􀁓

􀁱

Luas tembereng = luas juring – luas segitiga.

Setelah mempelajari bab ini, apakah kalian sudah paham

mengenai Lingkaran? Jika kalian sudah paham, coba rangkum

kembali materi ini dengan kata-katamu sendiri. Jika ada materi

yang belum kamu pahami, tanyakan pada temanmu yang lebih

tahu atau kepada gurumu. Berikan contoh masalah dalam

kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan lingkaran, kemudian

selesaikanlah. Buatlah laporan dan kemukakan hal ini secara

singkat di depan kelas.

167 Lingkaran

Kerjakan di buku tugasmu.

A. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat.

1. Apotema ditunjukkan

oleh garis ....

a. OA

b. AC

c. OE

d. BO

2. Suatu roda berdiameter 63 cm berputar

menempuh jarak 198 m. Roda

tersebut berputar sebanyak ....

a. 60 kali c. 100 kali

b. 75 kali d. 110 kali

3. Jika AB = 14 cm

maka luas daerah

arsiran pada gambar

di samping adalah

....

a. 56 cm2 c. 112 cm2

b. 88 cm2 d. 176 cm2

4. Pada gambar di

samping besar

􀂑 AOB = 120o dan

􀂑 COD = 30o. Jika

panjang busur AB

= 44 cm maka panjang

busur CD adalah

....

a. 5,5 cm c. 9 cm

b. 7 cm d. 11 cm

5 cm

Jika jari-jari lingkaran di atas 5 cm dan

panjang tali busur AB = 6 cm maka

panjang apotema OC adalah ....

a. 3 cm c. 4 cm

b. 3,5 cm d. 4,5 cm

6. Pada gambar di

samping, luas juring

OPQ = 19,25 cm2

dan luas juring ORS

= 51,33 cm2. Jika

besar 􀂑 POQ =

45o maka besar

􀂑 ROS adalah ....

a. 90o c. 135o

b. 120o d. 150o

7. Perhatikan gambar

di samping. Jika

besar 􀂑 AOB =

45o, panjang OB =

14 cm, dan OC =

CB, luas daerah

yang diarsir adalah

....

a. 55,57 cm2 c. 57,57 cm2

b. 55,77 cm2 d. 57,75 cm2

20o

P 70o

Perhatikan gambar di atas.

PR adalah garis tengah lingkaran

dengan titik pusat O. Jika 􀂑􀀃RPQ =

70o dan 􀂑 PRS = 20o, besar 􀂑 PRQ

dan 􀂑 RPS berturut-turut adalah ....

a. 90o dan 20o c. 20o dan 70o

b. 20o dan 90o d. 10o dan 80o

A B

D C

E C

O D

30o

120o

A B

D C

45o

A B

D C

14 cm

45o

P Q

168 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2

a. 17o c. 51o

b. 34o d. 68o

10. Suatu taman bunga berbentuk lingkaran

dengan luas 1.386 m2. Di sekeliling

taman itu setiap 4 meter ditanami

pohon cemara. Banyak pohon cemara

yang dapat ditanam adalah ....

a. 22 buah c. 44 buah

b. 33 buah d. 55 buah

x 51o

Jika 􀂑 ACD = 2po, 􀂑 BDC = po, dan

􀂑 BEC = 51o, besar 􀂑 ABD = ....

B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan tepat.

a. perbandingan luas lingkaran kecil

dan lingkaran besar;

b. selisih luas lingkaran kecil dan

lingkaran besar;

c. perbandingan keliling lingkaran

kecil dan lingkaran besar;

d. selisih keliling lingkaran kecil dan

lingkaran besar.

30o

Perhatikan gambar di atas.

Jika besar 􀂑􀀃PQR = 􀂑 PRQ maka

tentukan besar

a. 􀂑 QOR; d. 􀂑 RSO;

b. 􀂑 QPR; e. 􀂑 QRS.

c. 􀂑 ROS;

5. Sebuah pesawat supersonik mempunyai

kecepatan 7.850 km/jam dan

beredar mengelilingi bumi dalam satu

putaran penuh selama 8 jam. Jika lintasannya

berbentuk lingkaran dan jarijari

bumi adalah 6.400 km, tentukan

a. panjang lintasan pesawat tersebut;

b. jarak pesawat ke pusat bumi;

c. tinggi lintasan pesawat dari permukaan

bumi.

1. Tentukan keliling

dan luas daerah

yang diarsir pada

gambar di samping.

C B

Pada lingkaran di atas panjang

􀁰AB = 10 cm dan 􀁰BC = 25 cm.

Jika 􀂑 BDC = 27,5o, tentukan

a. besar 􀂑 AOB;

b. luas juring OAB;

c. luas juring OBC;

d. luas juring besar OAC.

A B

C D E

Tiga buah lingkaran saling bersinggungan

seperti tampak pada gambar

di atas. Jika AC = CD = DE = EB =

3 cm, tentukan

14 cm

28 cm

Search This Blog

ALUMNI SMP N 3 NGAWEN

Materi matematika tentang lingkaran

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

MAKALAH. UNSUR, SENYAWA, DAN CAMPURAN

artikel penjelasan rumus PERBANDINGAN matematika smp

Modul Materi Makalah Artikel Ringkasan tentang himpunan Matematika SMP